Samtidiga och kvadratiska ekvationer

Fortsatt från:Introduktion till algebra

Vår sidaIntroduktion till algebraförklarar hur man löser enkla ekvationer med grundalgebra.

Denna sida diskuterar mer komplexa ekvationer, inklusive de som involverar fraktioner, och två speciella problem som du kan stöta på: samtidiga ekvationer och kvadratiska ekvationer.

Viktigast är det att det framgår att dessa ekvationer, som andra, överensstämmer med regler och att du fortfarande kan manipulera dem så länge du kommer ihåg att göra samma sak mot båda sidor av ekvationen.

Fästen i algebra

I algebraiska ekvationer stöter du ofta på termer inom parentes (parentes). För att lösa ekvationen kan du behövabygga utfästena. Det betyder att vi måste arbeta igenom uttrycket och ta bort parenteserna på ett logiskt sätt, enligt vissa regler.

Om du bara har en enda uppsättning parenteser i din ekvation är processen enkel. Till exempel:

$$ 4 (x - 2) = 18 $$

I det här fallet multipliceras allt inom parenteserna på vänster sida av ekvationen med 4. Först, expandera parenteserna term för term:

$$ 4x - 8 = 18 $$

Nu kan du lösa ekvationen för (x ). Lägg sedan till 8 på varje sida:

$$ 4x = 26 $$

Dela slutligen varje sida med 4:

$$ x = 6,5 $$

Om din ekvation har två parentesuppsättningar (eller fler), som måste multipliceras tillsammans, är processen mer komplicerad men följer en logisk uppsättning regler.

Expandera till exempel uttrycket:

$$ (2x + 5) (x + 4) = 0 $$

På vänster sida av ekvationen måste vi multiplicera (2 (x ) + 5) med ( (x ) + 4). Varje uppsättning parenteser innehåller mer än en term. Det handlar inte bara om att multiplicera en uppsättning parenteser med akoefficient, som i föregående exempel, där du multiplicerade hela fästet med 4.

I det här fallet måste du multiplicera varje term i den första parentesen med varje term i den andra parentesen och lägga till dem alla tillsammans, det vill säga multiplicera (x ) med (x ), (x ) med 4 , sedan (x ) med 5, sedan 4 med 5. Det verkar ganska komplicerat, så du kan använda en metod som kallas'FOLIE'att hjälpa.

FOIL står förFförstaELLERlivmoderJagmänLast.

FÖRSTA: 2 (x ) × (x ) = 2 (x )^två

UTANFÖR: 2 (x ) × 4 = 8 (x )

INSIDA: 5 × (x ) = 5 (x )

SISTA: 5 × 4 = 20

Nästa steg är att lägga till dessa tillsammans:

2 (x )^två+ 8 (x ) + 5 (x ) + 20 är samma som 2 (x )^två+ 13 (x ) + 20.

Så den ursprungliga ekvationen (2 (x ) + 5) ( (x ) + 4) = 0 blir:

$$ 2x ^ 2 + 13x + 20 = 0 $$

Denna typ av ekvation är känd som enkvadratisk ekvation. Det finns mer om detta nedan.

Ekvationer med bråk

Ekvationer med bråk ser lite skrämmande ut, men det finns ett enkelt knep för att göra dem lättare att lösa.

Korsmultiplikationinnebär att man tar bort fraktionerna genom att i sin tur multiplicera båda sidor med varje nämnare. Mer information om hur du arbetar med fraktioner finns på vår sida påBråk.

Arbetat exempel

---

$$ frac {2 + x} {3} = frac {9 + x} {5} $$

För att ta bort fraktionerna multiplicerar du båda sidor av ekvationen med varje nämnare (3 och 5) i tur och ordning.
Börja med att multiplicera varje sida med 3:

$$ frac {3 (2 + x)} {3} = frac {3 (9 + x)} {5} $$

Till vänster avbryts de två 3-åren och lämnar 2 + (x ).
Till höger expanderar du parenteserna i täljaren för att göra 27 + 3 (x )

$$ 2 + x = frac {27 + 3x} {5} $$

Multiplicera nu båda sidor med 5. Återigen kommer de två 5-talet att avbrytas till höger, och du kommer att sluta med:

$$ 5 (2 + x) = 27 + 3x $$ $$ $$ 10 + 5x = 27 + 3x $$

Ordna om ekvationen så att termer som innehåller (x ) är till vänster och termer som endast innehåller siffror är till höger. Dra först 10 från varje sida:

$$ 5x = 17 + 3x $$

Subtrahera sedan 3 (x ) från varje sida för att få alla (x ) värden till vänster, och du slutar med:

$$2x = 17$$

Slutligen delar du båda sidorna med 2 värdet på (x ):

$$ x = 8,5 $$

Observera att (x ) inte alltid behöver vara ett heltal.

---

Samtidiga ekvationer

Hittills har alla exemplen endast innehöll en 'okänd' variabel, (x ). Vi kan lösa dessa ekvationer med algebra för att hitta värdet på (x ). Om du har en okänd behöver du bara en ekvation för att lösa för att få svaret.

Vad händer dock om du har en ekvation som (y ) = 4 (x ) + 5, där det finnstvå okända, (x ) och (y )?

Du kan till och med stöta på en mer komplex ekvation där du har tre okända, (x ), (y ) och (z ).

För att lösa dessa är regeln att du behöver samma antal ekvationer som du har okända. Alla ekvationer måste vara sanna för alla okända. Det betyder att du behöver två ekvationer för två okända, tre ekvationer för tre okända och så vidare.

Samtidiga ekvationer är en uppsättning av två ekvationer, båda med samma okända variabler, som båda är sanna. De kallassamtidigeftersom de löses tillsammans.

Samtidiga ekvationer indikeras ibland med ett långt lockigt fäste för att koppla ihop dem.

Metoden för att lösa samtidiga ekvationer med variabel (x ) och (y ) är:

• Ordna först om en ekvation för att få ett uttryck eller ett värde för (x ). Den omorganiserade ekvationen kan vara (x ) = ett tal, eller det kan vara ett uttryck där (x ) = en funktion av (y ) (dvs. (y ) fortfarande existerar som okänd i ekvationen ). Du kan se detta skrivet som (x ) = ƒ ( (y )), vilket helt enkelt betyder att ' (x ) är en funktion av (y )'.

• När du väl har ett värde eller ett uttryck för (x ) kan du ersätta det med den andra ekvationen för att hitta värdet på (y ). Denna nya ekvation har endast en okänd (y ).

• Slutligen, om ditt svar (x ) =? från steg (1) innehåller ' (y )', då kan du ersätta ditt värde av (y ) från steg (2) i ditt uttryck för (x ), för att hitta värdet av (x ).

Arbetat exempel 1: När x kan lösas som ett värde i steg 1.

$$ biggl { begin {eqnarray} 2x = 6 quad ; ; ; \ y = 4x + 5 slut {eqnarray} $$

Om 2 (x ) = 6, då ( boldsymbol {x} ) = 3.

Genom att ersätta 3 med (x ) i den andra ekvationen kan du lösa det för att ta reda på vad (y ) är.

$$ y = (4 gånger 3) + 5 = 17. $$ $$ boldsymbol {y = 17} $$

---

Fungerat exempel 2: När steg 1 ger (x = ƒ (y) )

$$ biggl { begin {eqnarray} x - y = 1 quad ; ; \ 2x + 3y = 27 end {eqnarray} $$

Steg 1: Om (x ) & minus; (y ) = 1, sedan (x ) = 1 + (y )

Steg 2: Att ersätta detta med den andra ekvationen ger 2 (1 + (y )) + 3 (y ) = 27

Expandering av parenteserna ger 2 + 2 (y ) + 3 (y ) = 27

Då 2 + 5 (y ) = 27

Så 5 (y ) = 25, vilket ger lösningen ( boldsymbol {y} ) = 5.

Steg 3: Vi vet att (x ) - (y ) = 1 därför ( boldsymbol {x} ) = 6.

---

Kvadratisk ekvation

En ekvation som har formen (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) kallas akvadratisk ekvation.

( boldsymbol {a} ), ( boldsymbol {b} ) och ( boldsymbol {c} ) är alla siffror, och i en given ekvation kan alla vara desamma eller kan vara olika. De kan också vara negativa eller positiva.

Exempel på kvadratiska ekvationer är:

1. ( boldsymbol {2x ^ 2 + 5x + 10 = 0} ). I denna ekvation är (a ) = 2, (b ) = 5 och (c ) = 10.

2. ( boldsymbol {3x ^ 2 - 3x + 9 = 0} ). I denna ekvation är (a ) = 3, (b ) = -3 och (c ) = 9.

3. ( boldsymbol {52x ^ 2 + x} ) & minus; ( boldsymbol {45 = 0} ). I denna ekvation är (a ) = 52, (b ) = 1 och (c ) = & minus; 45.

Paraboliska kurvor och kvadratiska ekvationer

---

Kvadratiska ekvationer är mycket viktiga i matematik och naturvetenskap. De är den matematiska ”beskrivningen” av en parabolisk kurva (parabel). För mer information om parabolor och andra böjda former som kallas koniska sektioner, se vår sida påcirklar, ellipser, parabolor och hyperboler. Värdena av (a ), (b ) och (c ) i kvadratisk ekvation beskriver kurvens form och var den är placerad inom en uppsättning kartesiska koordinater (x- och y-axlar). För mer, se vår sida påkartesiska koordinater.

En parabel hämtad från en kvadratisk ekvation där (a ) = 1, (b ) = −4 och (c ) = 5 ser ut så här:

Det finns flera olika sätt att lösa dessa ekvationer:

1. Genom att faktorisera

I matematik,faktorerär saker som multipliceras tillsammans. Faktorisering är en process som används för att skapa tvåfaktorerfrån det kvadratiska uttrycket som kan multipliceras tillsammans. Dessa faktorer är uppsättningar av parenteser med ett enkelt linjärt uttryck som innehåller (x ) inuti var och en.

Du gör en kvadratisk ekvation genom att multiplicera två uttryck inom parentes ( (x ) + ett tal) ( (x ) + ett annat nummer). Det betyder att alladet har en lösningkan skrivas i denna tvåfäste.

Detta är motsatsen till FOIL-metoden för att expandera parentes som beskrivs ovan. Expandera två uppsättningar parenteser multiplicerade tillsammans ger:

$$ boldsymbol {(x + m) (x + n) = x ^ 2 + (m + n) x + mn} $$

Det betyder att när du har en ekvation i formen (x ^ 2 + bx + c ), letar du efter två siffror så att när de multipliceras får du (c ), och när de läggs till får du (b ). Du kommer normalt att kunna se omedelbart om dessa finns som heltal.

Endast de enklaste kvadratiska ekvationerna kan enkelt faktoriseras. Om du inte har kunnat lösa det genom faktorisering efter några minuter är det bäst att prova en annan metod.

Arbetat exempel

---

$$ boldsymbol {x ^ 2 + 9x +20 = 0} $$

Du vet att 4 × 5 = 20 och 4 + 5 = 9.

De två parenteserna är därför ( (x ) + 4) ( (x ) + 5).

Detta uttryck måste vara lika med noll, så antingen (x ) + 4 = 0 eller (x ) + 5 = 0.

De två lösningarna i ekvationen är ( boldsymbol {x} ) = −4 och ( boldsymbol {x} ) = −5.

Varför finns det två lösningar på en kvadratisk ekvation?

---

Eftersom diagrammet är i form av en parabel.

Nedan visas diagrammet för ekvationen som används i exemplet ovan (y ) = (x )^två+ 9 (x ) + 20.

De två värdena på (x ) är kända som rötterna för ekvationen. Dessa är värdena (x ) när (y ) = 0. I diagrammet är (y ) = 0 vid x-axeln. Punkterna (x ) = −4 och (x ) = −5 är därför där ekvationens kurva passerar x-axeln. Minimivärdet för (y ) (den lägsta punkten i kurvan) förekommer mellan (x ) = −4 och (x ) = −5. Det är bara möjligt att se kurvan sjunka under x-axeln i denna graf.

Tittar vi på ekvationen igen, när (x ) = 0, sedan (y ) = 20. På diagrammet kan vi se att kurvan passerar y-axeln ( (x ) = 0) vid + 20. Detta är känt som y-skärning och är alltid värdet av (c ) i en kvadratisk ekvation.

2. Använda en formel

Om de två faktorerna inte är uppenbara är nästa steg att använda en formel. Alla kvadratiska ekvationer som kan lösas ger ett svar med formeln:

$$ large x = frac {-b pm sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a} $$

I detta fall är (a ) koefficienten för (x )^två, (b ) av (x ) och (c ) är siffran i slutet när ekvationen är i formen (ax )^två+ (bx ) + (c ) = 0.

Alla ekvationer som harendasttermer med (x )^två, (x ) och siffror kan förvandlas till formuläret (ax )^två+ (bx ) + (c ) = 0 och löses sedan med formeln.

Eftersom du kan ha (b ) plus eller minus kvadratroten har kvadratiska ekvationer alltid två lösningar, som visas i informationsrutan ovan. De kallas ekvationens rötter och anledningen till detta är mer uppenbart när vi tittar på formeln (( pm sqrt) ).

Det är viktigt att komma ihåg att vissa kvadratiska ekvationer inte har ett ”riktigt” svar.

Till exempel om (b )^två− 4 (ac ) är negativt, då kommer det inte att finnas något riktigt svar, för du kan inte ha en kvadratrot av ett minustal, förutom i form av ett imaginärt tal (det finns mer om imaginära tal på vår sida påspecialnummer och begrepp).

3.Slutföra torget

Om din kvadratiska ekvation inte kan faktoriseras, är ett alternativ till att använda formeln en metod som kallasslutföra torget. Det är möjligen det mest knepiga av metoderna att förstå. Det kräver att du ordnar om ekvationen så att den blir enperfekt fyrkantigt trinomial”(En trinomial är ett matematiskt uttryck med tre termer).

Det låter väldigt komplicerat, men det är bara 'matematikspråk' för att säga att du kan använda den här metoden för att konvertera en kvadratisk ekvation från en som inte kan faktoriseras till en som kan faktoriseras och du kan hitta lösningen genom att beräkna dess kvadratrot.

Den här metoden fungerar bara för (ax )^två+ (bx ) + (c ) = 0 när (a ) = 1. Om (b ) är jämn, är det ännu bättre.

För att lösa ekvationen måste vi introducera ett annat uttryck:

$$ (x + frac b2) ^ 2 + c $$

Detta uttryck kan utvidgas till att ge

$$ x ^ 2 + bx + vänster ( frac b2 höger) ^ 2 + c $$

Detta är detsamma som den ursprungliga kvadratiska ekvationen, men med en extra term (( frac b2) ^ 2 )

Den ursprungliga ekvationen kan därför skrivas om som det nya uttrycket minus den extra termen:

$$ (x + frac b2) ^ 2 - left ( frac b2 höger) ^ 2 + c = 0 $$

Att omorganisera den här nya ekvationen ger

$$ (x + frac b2) ^ 2 = -c vänster ( frac b2 höger) ^ 2 $$

Detta kan lösas genom att ta kvadratroten på varje sida.

Det följandearbetat exempelgör den här metoden lättare att förstå:

Hitta värdena för ( boldsymbol {x} ) när ( boldsymbol {x} )^två− 18 ( boldsymbol {x} ) + 72 = 0

Först fyller du i rutan genom att lägga till (( frac b2) ^ 2 ) på varje sida.

I det här fallet är denna extra term ((18 ÷ 2) ^ 2 = 9 ^ 2 = 81 )

$$ x ^ 2 - 18x + 81 = -72 + 81 $$

Därefter faktoriserar du vänster sida:

$$ (x - 9) (x - 9) = 9 $$

Detta är detsamma som

$$ (x - 9) ^ 2 = 9 $$

Du kan se att med den här metoden har den vänstra sidan av den ursprungliga ekvationen omvandlats till enperfekt fyrkantigt trinomial. Detta kan lösas genom att ta rötterna:

$$ x - 9 = pm sqrt {9} $$ $$ $$ = 9 pm 3 $$

---

Slutsats

Efter att ha läst den här sidan och följt exemplen borde du nu känna dig mer säker på din förmåga att hantera även ganska komplexa ekvationer.

Kom bara ihåg den gyllene regeln:

Gör alltid samma sak på varje sida av ekvationen

Om du gör det kommer du att ha det bra.

---

Fortsätta att:
Enkel statistisk analys
Ställ in teori